MEM-253 Αριθμητική Λύση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων

Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Επιλογής Κορμού (K5)	Επιλογής Προχωρημένο
Έτος/εξάμηνο	4ο / Χειμερινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 5
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 2
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	Κανένα
Συνιστώμενα μαθήματα	MEM-101, MEM-112, MEM-108, MEM-107
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις, εργαστήριο υπολογιστή
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εργαστηριακές ασκήσεις

Μαθησιακά αποτελέσματα

Mετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο στόχος είναι οι φοιτητές:

• Να γνωρίζουν βασικές μεθόδους προσέγγισης της λύσης προβλημάτων αρχικών συνθηκών και συνοριακών τιμών για ενδεικτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, όπως η εξίσωση θερμότητας, η εξίσωση κύματος, η εξίσωση Laplace και η εξίσωση μεταφοράς.
• Να υλοποιούν μεθόδους πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων και να υπολογίζουν την πειραματική τάξη σύγκλισής τους όταν εφαρμόζονται σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα.
• Να γνωρίζουν για μια μέθοδο τη βέλτιστη τάξη ακρίβειάς της καθώς και τους περιορισμούς που μπορεί να απαιτούνται στις παραμέτρους διακριτοποίησης με στόχο την εξασφάλιση της ευστάθειάς της.
• Να γνωρίζουν τους περιορισμούς που θέτει η αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας.
• Να γνωρίζουν τις βασικές τεχνικές ανάλυσης μεθόδων πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων.

Περιεχόμενο

• Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών για μερικές διαφορικές εξισώσεις. Ταξινόμηση μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης. Τα προβλήματα-μοντέλα των ελλειπτικών, παραβολικών και ελλειπτικών εξισώσεων.
• Πεπερασμένες διαφορές για την προσέγγιση παραγώγων πρώτης και δεύτερης τάξης. Μελέτη της ακρίβειας και μέθοδοι κατασκευής πεπερασμένων διαφορών.
• Το πρόβλημα δύο σημείων. Διακτριτοποίηση με μεθόδους πεπερασμένων διαφορών. Μελέτη της συνέπειας και ευστάθειας αριθμητικών μεθόδων. Τάξη ακρίβειας και σύγκλιση. Η μέθοδος της ενέργειας.
• Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για τη λύση του προβλήματος δύο σημείων. Ομογενείς συνθήκες Dirichlet. Σύνθήκες Neumann και συνθήκες Robin. Εκτίμηση του σφάλματος. Υλοποίηση της μεθόδου Galerkin.
• Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας. Η άμεση και η πεπλεγμένη μέθοδος του Euler. Η μέθοδος των Crank-Nicolson.
• Η εξίσωση της μεταφοράς. Μέθοδοι upwind και downwind. Η μέθοδος των Lax-Wendroff. Χωρία υπολογιστικής εξάρτησης. Ευστάθεια και σύγκλιση. Ευστάθεια κατά von Neumann.
• Υπερβολικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Η εξίσωση του κύματος. Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων.
• Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις. Μέθοδοι λύσης των συμμετρικών κατά blocks και θετικά ορισμένων πινάκων. Σύγκλιση των μεθόδων.
• Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για ελλειπτικές εξισώσεις σε πολλές διαστάσεις. Η μέθοδος Galerkin για ελλειπτικά προβλήματα. Πλήρως διακριτές προσεγγίσεις Galerkin για παραβολικά προβλήματα.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• Μ. Πλεξουσάκης, Π. Χατζημαντελίδης, Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Ελληνικά Ακαδημαϊκά Ηλεκτρονικά Συγγράμματα και Βοηθήματα - Αποθετήριο "Κάλλιπος", 2016.
• Γ.Δ. Ακρίβης και Β. Δουγαλής, Αριθμητικές Μέθοδοι για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, ΠΕΚ, 2015.
• Γ.Δ. Ακρίβης, Ν.Δ. Αλικάκος, Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Σύγχρονη Εκδοτική, 2η έκδοση, 2017.
• K.W. Morton, D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2005.
• Randall J. Leveque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. SIAM, 2007.

Περιγράμματα μαθημάτων

• ΜΕΜ-253 Αριθμητική Λύση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• ΜΕΜ-253 Αριθμητική Λύση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών