MEM-251 Αριθμητική Ανάλυση

Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Επιλογής Κορμού (Κ5)	Υποχρεωτικό
Έτος/εξάμηνο	3ο / Εαρινό	2ο / Εαρινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 5
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 2
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	MEM-101, MEM-104
Συνιστώμενα μαθήματα	MEM-112
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις, εργαστήριο υπολογιστή
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εργαστηριακές ασκήσεις

Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να γνωρίζουν τα θεμελιώδη προβλήματα τα οποία επιθυμεί να λύσει η αριθμητική ανάλυση.
• Να γνωρίζουν τους περιορισμούς που θέτει η αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας.
• Να γνωρίζουν τους αλγορίθμους επίλυσης γραμμικών συστημάτων, ιδιαίτερα την ανάλυση LU, την ανάλυση Cholesky, αλλά και τους επαναληπτικούς αλγορίθμους.
• Να γνωρίζουν και να υλοποιούν αλγορίθμους για την προσέγγιση της ρίζας μη γραμμικών εξισώσεων μιας μεταβλητής.
• Να κατανοούν το πρόβλημα προσέγγισης μέσω της πολυωνυμικής παρεμβολής και με κατά τμήματα πολυωνυμικές συναρτήσεις, και να γνωρίζουν τις αντίστοιχες τεχνικές εκτίμησης του σφάλματος.
• Να λύνουν το πρόβλημα της βέλτιστης προσέγγισης σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο.
• Να γνωρίζουν βασικές τεχνικές για τον αριθμητική προσέγγιση ολοκληρωμάτων.
• Να είναι σε θέση να σχεδιάζουν και να αναλύουν αλγορίθμους για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων της αριθμητικής ανάλυσης.

Περιεχόμενο

• Αριθμητική κινητής υποδιαστολής, εκτίμηση σφάλματος παράστασης και επιρροή σφαλμάτων παράστασης στους αριθμητικούς υπολογισμούς.
• Προσέγγισης της ρίζας συνάρτησης: μέθοδος διχοτόμησης, θεωρήματα σταθερού σημείου και προσέγγιση σταθερού σημείου, μέθοδος Newton και μέθοδος τέμνουσας.
• Γραμμικά συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων: νόρμες διανυσμάτων και πινάκων, δείκτης κατάστασης γραμμικών συστημάτων, εισαγωγή στην ευστάθεια γραμμικών συστημάτων, απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση, η γενική επαναληπτική μέθοδος, επαναληπτικές μέθοδοι Jacobi και Gauss-Seidel, σύγκλιση επαναληπτικών μεθόδων.
• Πολυωνυμική παρεμβολή Lagrange, πολυώνυμα Lagrange, μορφή Newton του πολυωνύμου Lagrange και διαιρεμένες διαφορές, πολυωνυμική παρεμβολή Hermite, παρεμβολή με συναρτήσεις συνεχείς και τμηματικά πολυώνυμα πρώτου και τρίτου βαθμού.
• Αριθμητική ολοκλήρωση: κανόνες αριθμητικής ολοκλήρωσης Newton-Cotes, κανόνας τραπεζίου, κανόνας Simpson, σύνθετοι κανόνες αριθμητικής ολοκλήρωσης, μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Legendre.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• Γ.Δ. Ακρίβης και Β. Δουγαλής. Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2015.

Περιγράμματα μαθημάτων

• ΜΕΜ-251 Αριθμητική Ανάλυση, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• ΜΕΜ-251 Αριθμητική Ανάλυση, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών