MEM-105 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Υποχρεωτικό
Έτος/εξάμηνο	1ο / Εαρινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 5
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 2
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	Κανένα
Συνιστώμενα μαθήματα	MEM-100, MEM-101, MEM-112
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις, εργαστήριο προβλημάτων
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου

Μαθησιακά αποτελέσματα

Mετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να αναγνωρίζουν βασικά σχήματα στο επίπεδο και στον χώρο και τις εξισώσεις τους.
• Να χειρίζονται πολικές, σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγμένες.
• Να υπολογίζουν όρια συναρτήσεων καθώς και να αποφασίζουν την μη ύπαρξη ορίου.
• Να υπολογίζουν τις μερικές παραγώγους, την κλίση και τις κατά κατεύθυνση παραγώγους πραγματικής συνάρτησης καθώς και το εφαπτόμενο (υπερ) επίπεδο στο γράφημα πραγματικής συνάρτησης.
• Να υπολογίζουν τα ακρότατα και τα σαγματικά σημεία πραγματικής συνάρτησης και τα ακρότατα πραγματικής συνάρτησης υπό συνθήκες.
• Να διερευνούν την επιλυσιμότητα ενός συστήματος (μη γραμμικών) εξισώσεων ως προς κάποιες από τις μεταβλητές συναρτήσει των υπολοίπων.

Περιεχόμενο

• Σύντομη επισκόπηση απλών σχημάτων στο επίπεδο (ευθεία, κύκλος, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή) και στον χώρο (επίπεδο, σφαίρα, ελλειψοειδές, κύλινδρος, κώνος, παραβολοειδή, υπερβολοειδή) και οι καρτεσιανές εξισώσεις τους.
• Πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο. Σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγμένες στον χώρο.
• Συναρτήσεις (πραγματικές και διανυσματικές) πολλών μεταβλητών. Ισοσταθμικά σύνολα πραγματικής συνάρτησης. Όριο και συνέχεια συνάρτησης και απλές αλγεβρικές ιδιότητες του ορίου και της συνέχειας.
• Μερικές παράγωγοι πραγματικής συνάρτησης. Παραγωγισιμότητα και παράγωγος (πίνακας) διανυσματικής συνάρτησης. Κλίση πραγματικής συνάρτησης. Εφαπτόμενο (υπερ)επίπεδο και κάθετο διάνυσμα στο γράφημα πραγματικής συνάρτησης. Κριτήριο παραγωγισιμότητας. Αλγεβρικές ιδιότητες παραγώγων. Κανόνας αλυσίδας.
• Καμπύλες. Εφαπτόμενο διάνυσμα καμπύλης. Ταχύτητα, επιτάχυνση.
• Κατά κατεύθυνση παράγωγος πραγματικής συνάρτησης.
• Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης και ανάπτυγμα Taylor πραγματικής συνάρτησης.
• Θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής για πραγματικές συναρτήσεις (χωρίς απόδειξη). Ακρότατα πραγματικής συνάρτησης. Κριτήριο πρώτης παραγώγου. Εσσιανός πίνακας και Εσσιανή τετραγωνική μορφή πραγματικής συνάρτησης και το κριτήριο δεύτερης παραγώγου.
• Θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης. Θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης. Ακρότατα υπό συνθήκες και πολλαπλασιαστές Lagrange.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• R.L. Finney, M.D. Weir, F.R. Giordano, Thomas, Απειροστικός Λογισμός, ΠΕΚ, 2015.
• J. Hass, C. Heil, M. Weir, Thomas, Απειροστικός Λογισμός, ΠΕΚ, 2018.
• J.E. Marsden, A.J. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1988.
• Tom Apostol, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός IΙ, Ατλαντίς, 1990.
• Ν. Δανίκας, Μ.Γ. Μαριάς, Μαθήματα Διαφορικού Λογισμού πολλών μεταβλητών, Εκδόσεις Ζήτη, 2003.
• D. Hughes-Hallet, A.M. Gleason, W.G. McCallum, Calculus, John Wiley & Sons, Inc. 2012.

Περιγράμματα μαθημάτων

• MEM-105 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• MEM-105 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών