Σεμινάριο Μεταπτυχιακών
6 Οκτωβρίου 2025 2025-10-10 11:00Σεμινάριο Μεταπτυχιακών
Χειμερινό Εξάμηνο 2025-26
Περίληψη: In this two-part lecture series we shall discuss Hawking’s incompleteness/singularity theorem. The famous theorem, proved by Stephen Hawking in the mid 1960’s, provides conditions under which a spacetime is geodesically incomplete. The first lecture will introduce some basic notions from Pseudoriemannian and Lorentzian geometry. The final lecture will address the main theorem and its proof.
σημειώσεις
Δευτέρα 20/10 ώρα 11:15-13:00 (αίθουσα A303)
Δευτέρα 27/10 ώρα 11:15-13:00 (αίθουσα A303)
Περίληψη: Ιδιότητες μιγαδικών συναρτήσεων που αφορούν την επαναλαμβανόμενη εφαρμογή τους σε σημεία και σύνολα, δηλαδή, οι δυναμικές ιδιότητες γίνονται πολύ λιγότερο κατανοητές όταν μεταβαίνουμε από τις γραμμικές στις μη γραμμικές συναρτήσεις. Η πολυπλοκότητα ήδη γίνεται αντιληπτή περνώντας από τα γραμμικά στα πολυώνυμα δευτέρου βαθμού. Ωστόσο, σημαντική πρόοδος έχει συντελεστεί τα τελευταία 60 χρόνια και σήμερα μπορούμε να διατυπώσουμε τοπολογικής φύσεως συμπεράσματα. Στις ομιλίες θα ξεκινήσουμε με τη μελέτη της δυναμικής που αφορά πολυώνυμα, θα μεταβούμε σε ειδικές κατηγορίες ακεραίων συναρτήσεων και θα διατυπώσουμε ιδιότητες που αφορούν την ομοιόμορφη σύγκλιση των επαναλήψεων ολομόρφων συναρτήσεων καθώς και τοπολογικές και γεωμετρικές ιδιότητες για τα σύνολα που ανακύπτουν (σύνολα Julia, Fatou κ.λπ.). Θα αναφερθούμε ειδικότερα στην εκθετική συνάρτηση, για την οποία ο Misiurewicz το 1981 έδειξε ότι το σύνολο Julia είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο, απαντώντας έτσι καταφατικά σε μια εικασία του Fatou από το 1926.
σημειώσεις
Δευτέρα 10/11 ώρα 11:15-13:00 (αίθουσα A303)
Τρίτη 18/11 ώρα 9:15-11:00 (αίθουσα A303)
Περίληψη: Θα αποδείξουμε με μεθόδους από τις πιθανότητες και με χρήση λογαριθμικά κοίλων συναρτήσεων ότι η τομή του n-simplex με υπερεπίπεδο n-1 διαστάσεων που περνάει από το κέντρο του simplex και έχει μέγιστο όγκο είναι αυτή που περνάει από n-1 κορυφές του simplex.
σημειώσεις
Δευτέρα 24/11 ώρα 9:15-11:00 (αίθουσα A303)
Δευτέρα 1/12 ώρα 9:15-11:00 (αίθουσα A303)
Περίληψη: Στο σεμινάριο θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά κοσμολογικών μοντέλων με βαθμωτά πεδία (scalar fields) όταν το δυναμικό τους διαθέτει “σκληρούς τοίχους” (hard potential walls). Μέσα από το παράδειγμα ενός εκθετικά απότομου δυναμικού φρέατος, θα δούμε πώς η αδυναμία του πεδίου να διαπεράσει τους “τοίχους” του δυναμικού οδηγεί σε ταλαντωτική συμπεριφορά κατά την προσέγγιση της αρχικής ιδιομορφίας του χωροχρόνου. Παρά την παραβίαση της ισχυρής ενεργειακής συνθήκης, τα μοντέλα αυτά εμφανίζουν τόσο χωροχρονικές ιδιομορφίες όσο και ορίζοντες σωματιδίων. Το φαινόμενο αυτό θυμίζει τη χαοτική δυναμική που παρατηρείται σε άλλα κοσμολογικά πλαίσια, ανοίγοντας τον δρόμο για νέες ερμηνείες σχετικά με τη φύση της αρχής του σύμπαντος.
σημειώσεις
Δευτέρα 8/12 ώρα 11:15-13:00 (αίθουσα A303)
Δευτέρα 15/12 ώρα 11:15-13:00 (αίθουσα A303)
Περίληψη: Στις διαλέξεις θα ασχοληθούμε με τον Διακριτό Μετασχηματισμό Fourier (DFT) και τον ταχύ υπολογισμό του μέσω του Fast Fourier Transform (FFT), ενός από τους σημαντικότερους μαθηματικούς αλγορίθμους του 20ού αιώνα. Στην πρώτη διάλεξη θα ορίσουμε το DFT και θα παρουσιάσουμε βασικές ιδιότητές του με εργαλεία γραμμικής άλγεβρας, καταλήγοντας και αποδεικνύοντας το θεμελιώδες αποτέλεσμα ότι οι γραμμικοί, μεταθετικά αναλλοίωτοι μετασχηματισμοί διαγωνοποιούνται από τη βάση Fourier. Στη δεύτερη διάλεξη θα αναλύσουμε τον αλγόριθμο FFT και θα δείξουμε πως η πολυπλοκότητα του απευθείας υπολογισμού του DFT από Ο(N^2) μειώνεται σε O(Nlog(N)) με τη χρήση του FFT.
σημειώσεις
Δευτέρα 19/1 ώρα 11:15-13:00 (αίθουσα A303)
Δευτέρα 26/1 ώρα 11:15-13:00 (αίθουσα A303)
Χειμερινό Εξάμηνο 2023-24
Περίληψη: Στις ομιλίες θα ασχοληθούμε αρχικά με κάποια στοιχεία υπερβολικής γεωμετρίας στον μοναδιαίο δίσκο D του C. Θα ορίσουμε την υπερβολική μετρική και θα κατασκευάσουμε πλέγματα του υπερβολικού δίσκου. Στη συνέχεια, θα μελετήσουμε τον χώρο Bergman, δηλαδή τον χώρο όλων των p-ολοκληρώσιμων ολόμορφων συναρτήσεων στο D. Πιο συγκεκριμένα, θα δούμε ότι ο χώρος Bergman είναι πλήρης μετρικός χώρος και κάθε στοιχείο του έχει μια ολοκληρωτική αναπαράσταση μέσω του πυρήνα Bergman.
Τρίτη 7/11 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα A303)
Τρίτη 14/11 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα A303)
Περίλψη: Στις διαλέξεις αυτές θα δούμε κάποια βασικά στοιχεία της ακουστικής των κυμάτων. Θα μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά διάδοσης τους μέσω τριών βασικών εξισώσεων, την εξίσωση συνέχειας, εξίσωση του Εuler, και την καταστατική εξίσωση. Χωρίζοντας τις μεταβλητές χώρου και χρόνου και χωρικής εξάρτησης της πίεσης θα δούμε τις στοιχειώδεις λύσεις της ακουστικής εξίσωσης και το νόμο του Snel. Έπειτα θα μελετήσουμε τη θεωρία ακτινών παρουσιάζοντας βασικούς τύπους για τα ενεργειακά μεγέθη που χρησιμοποιούμε για την προσεγγιστική εκτίμηση της ακουστικής πίεσης με βάση τη θεωρία ακτινών (στιγμιαία ένταση, ακουστική ένταση). Τέλος θα μελετήσουμε το πιο σύγχρονο πρόβλημα της γεωμετρικής ακουστικής και την εξασθένηση των ηχητικών κυμάτων στην επιφάνεια της θάλασσας και στο βυθό της.
σημειώσεις
Τρίτη 21/11 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα A303)
Τρίτη 28/11 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα A303)
Τρίτη 5/12 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα A303)
Τρίτη 12/12 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα A303)
Χειμερινό Εξάμηνο 2022-23
Περίληψη: Στις ομιλίες θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν την εύρεση ελάχιστης τιμής συναρτησοειδών που ορίζονται σε κατάλληλους χώρους Sobolev. Συγκεκριμένα, κάτω από κάποιες συνθήκες θα αποδείξουμε τόσο την ύπαρξη όσο και την μοναδικότητα των ελαχιστοποιητών καθώς και τον τρόπο εύρεσης αυτών. Τέλος, θα συζητήσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης κάτω από περιορισμούς
Τρίτη 8/11 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα Α303)
Τρίτη 15/11 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα Α303)
Τρίτη 22/11 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα Α303)
Τρίτη 29/11 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα Α303)
Περίληψη: Στις ομιλίες θα εστιάσουμε στην χαρακτηριστική του Euler των επίπεδων γραφημάτων. Θα δούμε παραδείγματα μη επίπεδων γραφημάτων που έχουν επίπεδη εμφύτευση σε άλλες επιφάνειες του χώρου και θα εξετάσουμε τις τοπολογικές διαφορές των επιφανειών αυτών
Τρίτη 6/12 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα Α303)
Τρίτη 13/12 ωρα 13:15-15:00 (αίθουσα Α303)
