MEM-244 Εφαρμοσμένη Άλγεβρα
24 Φεβρουαρίου 2025 2025-02-24 12:37MEM-244 Εφαρμοσμένη Άλγεβρα
| Κατεύθυνση | Μαθηματικών | Εφαρμοσμένων Μαθηματικών |
| Είδος | Επιλογής Κορμού (Κ4) | Ελεύθερης Επιλογής |
| Έτος/εξάμηνο | 4ο / Εαρινό | |
| ECTS/Διδακτικές μονάδες | 8 / 4 | |
| Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων | 4 / 0 | |
| Προαπαιτούμενα μαθήματα | Κανένα | |
| Συνιστώμενα μαθήματα | MEM-221 | |
| Μέθοδος διδασκαλίας | Διαλέξεις | |
| Μέθοδος αξιολόγησης | Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου | |
Μαθησιακά αποτελέσματα
Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:
- Να έχουν γνώση της βασικής δομής ενός πεπερασμένου σώματος.
- Να μπορούν να χειρίζονται πρακτικά ένα δεδομένο πεπερασμένο σώμα.
- Να αναπαριστύν στοιχεια του σώματος.
- Να κάνουν τις πράξεις του σώματος.
- Να υπολογίζουν αντίστροφα στοιχείων.
- Να υπολογίζουν τάξεις στοιχείων.
- Να μπορούν να χειρίζονται πολυώνυμα πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα.
- Να κάνουν πράξει πολυωνύμων.
- Να υπολογίζουν μέγιστους κοινούς διαιρέτες.
- Δεδομένης μία ρίζας ενός αναγώγου να υπολογίζουν όλες τις ρίζες του αναγώγου.
- Να γνωρίζουν πώς αναλύονται τα κυκλοτομικά πολυώνυμα σε ανάγωγα.
- Να κατανοούν το βασικό πρόβλημα με το οποίο ασχολείται η θεωρία κωδικοποίησης.
- Να κατανοούν τις βασικές έννοιες της θεωρία κωδίκων διόρθωσης λαθών.
- Να κατανοούν τον τρόπο λειτουργίας τέτοιων κωδίκων.
- Να γνωρίζουν βασικούς κώδικες διόρθωσης λαθών.
Περιεχόμενο
- Βασικές έννοιες θεωρίας σωμάτων: επέκταση σώματος, βαθμός επέκτασης, ελάχιστο πολυώνυμο στοιχείου.
- Κατασκευή επεκτάσεων, σώμα ανάλυσης πολυωνύμου, αλγεβρική θήκη.
- Ύπαρξη και μοναδικότητα πεπερασμένων σωμάτων δεδομένης τάξης.
- Δομή πολλαπλασιατικής ομάδας.
- Πολυώνυμα πάνω από πεπερασμένα σώματα, ανάγωγα και πρωταρχικά πολυώνυμα.
- Ανάλυση κυκλοτομικών πολυωνύμων σε ανάγωγα.
- Βασικές έννοιες θεωρίας κωδίκων διόρθωσης λαθών: μήκος, απόσταση Hamming.
- Γραμμικοί κώδικες, δυϊκός ένος γραμμικού κώδικα, πίνακας βάσης, πίνακας ελέγχου, βάρος hamming, κατανομή βαρών.
- Χαρακτηρισμός ελάχιστης απόστασης με χρήση του πίνακα ελέγχου.
- Κώδικες Hamming, Simplex, GRS.
Συνιστώμενη βιβλιογραφία
- 1. Α. Κοντογεώργης, Ι. Αντωνιάδης, Πεπερασμένα σώματα και κρυπτογραφία, Εκδόσεις Κάλλιπος.
- Δ. Βάρσος, Μία εισαγωγή στην αλγεβρική θεωρία κωδίκων, Εκδόσεις Κάλλιπος.
- R. Lidl, H. Niederreiter, Introduction to finite fields and their applications, Cambridge University Press.
