Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Επιλογής Κορμού (Κ4)	Ελεύθερης Επιλογής
Έτος/εξάμηνο	4ο / Εαρινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 4
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 0
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	Κανένα
Συνιστώμενα μαθήματα	MEM-221
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου

Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να έχουν γνώση της βασικής δομής ενός πεπερασμένου σώματος.
• Να μπορούν να χειρίζονται πρακτικά ένα δεδομένο πεπερασμένο σώμα.
• Να αναπαριστύν στοιχεια του σώματος.
• Να κάνουν τις πράξεις του σώματος.
• Να υπολογίζουν αντίστροφα στοιχείων.
• Να υπολογίζουν τάξεις στοιχείων.
• Να μπορούν να χειρίζονται πολυώνυμα πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα.
• Να κάνουν πράξει πολυωνύμων.
• Να υπολογίζουν μέγιστους κοινούς διαιρέτες.
• Δεδομένης μία ρίζας ενός αναγώγου να υπολογίζουν όλες τις ρίζες του αναγώγου.
• Να γνωρίζουν πώς αναλύονται τα κυκλοτομικά πολυώνυμα σε ανάγωγα.
• Να κατανοούν το βασικό πρόβλημα με το οποίο ασχολείται η θεωρία κωδικοποίησης.
• Να κατανοούν τις βασικές έννοιες της θεωρία κωδίκων διόρθωσης λαθών.
• Να κατανοούν τον τρόπο λειτουργίας τέτοιων κωδίκων.
• Να γνωρίζουν βασικούς κώδικες διόρθωσης λαθών.

Περιεχόμενο

• Βασικές έννοιες θεωρίας σωμάτων: επέκταση σώματος, βαθμός επέκτασης, ελάχιστο πολυώνυμο στοιχείου.
• Κατασκευή επεκτάσεων, σώμα ανάλυσης πολυωνύμου, αλγεβρική θήκη.
• Ύπαρξη και μοναδικότητα πεπερασμένων σωμάτων δεδομένης τάξης.
• Δομή πολλαπλασιατικής ομάδας.
• Πολυώνυμα πάνω από πεπερασμένα σώματα, ανάγωγα και πρωταρχικά πολυώνυμα.
• Ανάλυση κυκλοτομικών πολυωνύμων σε ανάγωγα.
• Βασικές έννοιες θεωρίας κωδίκων διόρθωσης λαθών: μήκος, απόσταση Hamming.
• Γραμμικοί κώδικες, δυϊκός ένος γραμμικού κώδικα, πίνακας βάσης, πίνακας ελέγχου, βάρος hamming, κατανομή βαρών.
• Χαρακτηρισμός ελάχιστης απόστασης με χρήση του πίνακα ελέγχου.
• Κώδικες Hamming, Simplex, GRS.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• 1. Α. Κοντογεώργης, Ι. Αντωνιάδης, Πεπερασμένα σώματα και κρυπτογραφία, Εκδόσεις Κάλλιπος.
• Δ. Βάρσος, Μία εισαγωγή στην αλγεβρική θεωρία κωδίκων, Εκδόσεις Κάλλιπος.
• R. Lidl, H. Niederreiter, Introduction to finite fields and their applications, Cambridge University Press.

Περιγράμματα μαθημάτων

• MEM-244 Εφαρμοσμένη Άλγεβρα, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• MEM-244 Εφαρμοσμένη Άλγεβρα, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών