ΜΕΜ-Θ2.04 Θέµατα ΄Αλγεβρας: Θεωρία Αναπαραστάσεων – Συνδυαστική

Ανασκόπηση και Περιεχόµενο Μαθήµατος: 
Ένας χρήσιµος τρόπος να µελετήσουµε µια οµάδα είναι µέσω της κατανόησης των δράσεών της πάνω σε διανυσµατικούς χώρους, µετατρέποντας έτσι τη µελέτη της σε πρόβληµα γραµµικής άλγεβρας. Η προσέγγιση αυτή ονοµάζεται θεωρία αναπαραστάσεων. Το µάθηµα αποτελεί µια πρόσκληση στη θεωρία αναπαραστάσεων των πεπερασµένων οµάδων, µε έµϕαση στις αναπαραστάσεις της συµµετρικής οµάδας. Στην περίπτωση της συµµετρικής οµάδας, µέθοδοι συνδυαστικής µας επιτρέπουν να απαντήσουµε πλήρως σε πληθώρα βασικών ερωτηµάτων που προκύπτουν.
Το περιεχόµενο του µαθήµατος χωρίζεται σε τέσσερα µέρη:
(1) Βασικές έννοιες της θεωρίας αναπαραστάσεων πεπερασµένων οµάδων.
Θα παρουσιαστούν θεµελιώδεις έννοιες όπως δράσεις οµάδων, αναπαραστάσεις και χαρακτήρες. Θα µελετηθεί η διάσπαση µιας αναπαράστασης σε ευθύ γινόµενο ανάγωγων αναπαραστάσεων και τα σχετικά θεωρήµατα των Schur και Maschke. Θα δούµε πώς µπορούµε να κατασκευάσουµε νέες αναπαραστάσεις από παλιές, χρησιµοποιώντας ευθέα αθροίσµατα, τανυστικά γινόµενα, επαγωγή και περιορισµό. Τέλος, θα εξερευνηθεί το βασικό ερώτηµα της ταξινόµησης των ανάγωγων αναπαραστάσεων µιας πεπερασµένης οµάδας.
(2) Θεωρία αναπαραστάσεων της συµµετρικής οµάδας.
Αϕού κατανοηθούν οι βασικές έννοιες, θα εισαχθούν βασικές ιδέες της αλγεβρικής συνδυαστικής, όπως οι διαµερίσεις ακεραίων και τα Young ταµπλώ. Έπειτα, θα κατασκευάσουµε τις ανάγωγες αναπαραστάσεις χρησιµοποιώντας τα πρότυπα Specht και θα µελετήσουµε βασικά αποτελέσµατα της θεωρίας, όπως οι κανόνες διακλάδωσης, ο κανόνας του Young, ο κανόνας του Pieri.
(3) Συµµετρικές συναρτήσεις.
Θα δούµε πώς η θεωρία αναπαραστάσεων της συµµετρικής οµάδας µπορεί να διατυπωθεί στη γλώσσα των συµµετρικών συναρτήσεων, µιας από τις πιο επιδραστικές έννοιες στα µαθηµατικά του 20ού αιώνα. Θα παρουσιαστούν σηµαντικές βάσεις του χώρου των συµµετρικών συναρτήσεων, όπως οι συναρτήσεις Schur, και η χαρακτηριστική απεικόνιση του Frobenius, που αποτελεί τη γέϕυρα από τον κόσµο των αναπαραστάσεων στον κόσµο των συµµετρικών.

Για περισσότερε πληροφορίες, απευθυνθείτε στην κα Τζανάκη etzanaki@uoc.gr