Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Υποχρεωτικό	Επιλογής Κορμού
Έτος/εξάμηνο	2ο / Χειμερινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 5
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 2
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	MEM-103
Συνιστώμενα μαθήματα	Κανένα
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις, εργαστήριο προβλημάτων
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου

Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα έχουν αποκτήσει:

• Κατανόηση θεμελιωδών δομών της σύγχρονης Άλγεβρας, όπως η δομή τής ομάδας και του δακτυλίου.
• Κατανόηση των ιδιοτήτων των παραπάνω δομών.
• Κατανόηση και εξοικείωση με την αλγεβρική δομή βασικών παραδειγμάτων ομάδων και δακτυλίων, όπως ο δακτύλιος των ακεραίων modulo m, ο πολυωνυμικός δακτύλιος, η συμμετρική ομάδα, οι κυκλικές ομάδες.
• Κατανόηση ομομορφισμών και ισομορφισμών και αναγνώριση ισόμορφων δακτυλίων και ομάδων.

Περιεχόμενο

• Το σύνολο των ακεραίων modulo m. Εξισώσεις και συστήματα ισοτιμιών. Το Μικρό Θεώρημα του Fermat και το Θεώρημα του Euler.
• Δακτύλιοι – απλές ιδιότητες. Αντιστέψιμα στοιχεία και μηδενοδιαιρέτες. Ακέραιες περιοχές και σώματα. Υποδακτύλιοι. Ο δακτύλιος των πολυωνύμων μιας μεταβλητής με συντελεστές σε δακτύλιο και ειδικότερα σε σώμα. Ευκλείδεια διάιρεση πολυωνύμων, μκδ πολυωνύμων. Ανάγωγα πολυώνυμα και η ανάλυση πολυωνύμων σε γινόμενο αναγώγων. Ρίζες πολυωνύμων. Ομομορφισμοί και ισομορφισμοί δακτυλίων, εικόνα και πυρήνας ομομορφισμού. Ιδεώδη δακτυλίου, κύρια και πεπερασμένα παραγόμενα ιδεώδη. Άθροισμα και γινόμενο ιδεωδών. Τα ιδεώδη τού πολυωνυμικού δακτυλίου. Το ελάχιστο πολυώνυμο ενος τετραγωνικού πίνακα.
• Ομάδες, – απλές ιδιότητες. Τάξη στοιχείου ομάδας. Υποομάδες, κυκλικές ομάδες. Η τάξη στοιχείου κυκλικής ομάδας. Η συμμετρική ομάδα. Μεταθέσεις. Κυκλικές μεταθέσεις. Η ανάλυση μιας μετάθεσης σε ξένες μεταξύ τους κυκλικές μεταθέσεις. Πρόσημο μετάθεσης. Η εναλλάσουσα υποομάδα. Σύμπλοκα. Το θεώρημα του Lagrange. Κανονικές υπποομάδες. Ομομορφισμοί και ισομορφισμοί ομάδων, εικόνα και πυρήνας ομομορφισμού. Η κατάταξη των κυκλικών υποομάδων.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• John B. Fraleigh, Εισαγωγή στην Άλγεβρα, ΠΕΚ, 2010.
• Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, Α. Μελάς, Ο. Ταλέλλη, Μιά Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Εκδόσεις Σοφία, 2013.
• Δ. Πουλάκης, , Άλγεβρα, Εκδόσεις Ζήτη, 2013.

Περιγράμματα μαθημάτων

• MEM-221 Άλγεβρα Ι, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• MEM-221 Άλγεβρα Ι, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών