Κατεύθυνση	Μαθηματικών	Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Είδος	Επιλογής Κορμού (Κ1)	Επιλογής Κορμού
Έτος/εξάμηνο	3ο / Χειμερινό
ECTS/Διδακτικές μονάδες	8 / 4
Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων	4 / 0
Προαπαιτού­μενα μαθήματα	Κανένα
Συνιστώμενα μαθήματα	MEM-101, MEM-211, MEM-212
Μέθοδος διδασκαλίας	Διαλέξεις
Μέθοδος αξιολόγησης	Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου

Μαθησιακά αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

• Να έχουν γνώση της βασικής θεωρίας μέτρου και ολοκλήρωσης κατά Lebesgue στην πραγματική ευθεία και να επιλύουν προβλήματα εύρεσης γενικευμένου μήκους.
• Να διακρίνουν μετρήσιμα από μη μετρήσιμα σύνολα και να απαντούν σε ερωτήματα μετρησιμότητας.
• Να ταυτοποιούν το σύνολο Cantor και να εφαρμόζουν τις ιδιότητές του.
• Να προσεγγίζουν μετρήσιμα σύνολα από ανοικτά και από συμπαγή σύνολα.
• Να προσεγγίζουν μετρήσιμες συναρτήσεις από απλές συναρτήσεις. 6. να ολοκληρώνουν γενικές κλάσεις συναρτήσεων.
• Να γνωρίζουν τις τεχνικές εναλλαγής ορίου και ολοκληρώματος.
• Να γνωρίζουν γενικεύσεις των θεμελιωδών θεωρημάτων του Απειροστικού Λογισμού και των εφαρμογών του.

Περιεχόμενο

• Εξωτερικό μέτρο Lebesgue στην πραγματική ευθεία.
• σ-άλγεβρες, σύνολα Borel.
• Μετρήσιμα κατά Lebesgue σύνολα μέσω της κατασκευής Καραθεοδωρή, μέτρο Lebesgue.
• Ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων, το σύνολο Cantor, μη μετρήσιμα σύνολα.
• Μετρήσιμες συναρτήσεις.
• Ολοκλήρωμα Lebesgue, οριακά θεωρήματα.
• Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων.
• Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων.
• Το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue.

Συνιστώμενη βιβλιογραφία

• G. de Bara, Measure and Integration. Elsevier, 2003.
• H. L. Royden, Real Analysis. Pearson, 1988.
• D. L. Cohn, Measure Theory. Birkhäuser. 2013.
• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis. Mac Graw-Hill, 1976.

Περιγράμματα μαθημάτων

• MEM-214 Πραγματική Ανάλυση, Κατεύθυνση Μαθηματικών
• MEM-214 Πραγματική Ανάλυση, Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών