MEM-212 Ανάλυση ΙI
24 Φεβρουαρίου 2025 2025-02-24 12:07MEM-212 Ανάλυση ΙI
| Κατεύθυνση | Μαθηματικών | Εφαρμοσμένων Μαθηματικών |
| Είδος | Υποχρεωτικό | |
| Έτος/εξάμηνο | 2ο / Εαρινό | |
| ECTS/Διδακτικές μονάδες | 8 / 5 | |
| Ώρες διαλέξεων/εργαστηρίων | 4 / 2 | |
| Προαπαιτούμενα μαθήματα | MEM-101 | |
| Συνιστώμενα μαθήματα | MEM-211 | |
| Μέθοδος διδασκαλίας | Διαλέξεις, εργαστήριο προβλημάτων | |
| Μέθοδος αξιολόγησης | Τελική εξέταση, εξετάσεις προόδου | |
Μαθησιακά αποτελέσματα
Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση:
- Να χειρίζονται ακολουθίες συναρτήσεων και σειρές συναρτήσεων.
- Να χειρίζονται βασικές έννοιες μετρικού χώρου, ειδικά στην περίπτωση του Ευκλείδειου χώρου.
- Να κατανοούν και να διατυπώνουν τις αποδείξεις των βασικών θεωρημάτων.
- Να λύνουν θεωρητικές ασκήσεις.
Περιεχόμενο
- Ολοκλήρωμα Riemann (βάσει αθροισμάτων Darboux). Κριτήριο ολοκληρωσιμότητας. Ολοκληρωσιμότητα συνεχών συναρτήσεων και μονότονων συναρτήσεων. Οι βασικές αλγεβρικές και ανισοτικές ιδιότητες του ολοκληρώματος. Ισοδυναμία των ορισμών του ολοκληρώματος βάσει αθροισμάτων Riemann και βάσει αθροισμάτων Darboux (ίσως χωρίς απόδειξη).
- Ακολουθίες συναρτήσεων. Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση. Ομοιόμορφη σύγκλιση σε σχέση με συνέχεια, παραγωγισιμότητα και ολοκληρωσιμότητα. Θεώρημα προσέγγισης Weierstrass.
- Σειρές συναρτήσεων. Κατά σημείο σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση. Κριτήριο Weierstrass. Δυναμοσειρές. Διάστημα σύγκλισης δυναμοσειράς. Το θεώρημα Abel για την συνέχεια δυναμοσειράς στο διάστημα σύγκλισής της. Παραγωγισιμότητα δυναμοσειράς.
- Μετρικοί χώροι. Ο Ευκλείδειος χώρος και ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων. Εσωτερικά, οριακά και συνοριακά σημεία. Εσωτερικό, κλειστότητα και σύνορο συνόλου. Ανοικτά και κλειστά σύνολα και βασικές ιδιότητες. Όριο ακολουθίας. Πληρότητα. Όριο και συνέχεια συνάρτησης. Αντίστροφες εικόνες ανοικτών και κλειστών συνόλων μέσω συνεχών συναρτήσεων. Συμπάγεια. Ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν κάθε ακολουθία στο σύνολο έχει υπακολουθία συγκλίνουσα σε σημείο του συνόλου. Ένα σύνολο στον Ευκλείδειο χώρο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε συμπαγές σύνολο έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή και είναι ομοιόμορφα συνεχής.
Συνιστώμενη βιβλιογραφία
- Walter Rudin, Αρχές Μαθηματικής Αναλύσεως, Εκδόσεις Leader Books, 2014.
- Μ. Παπαδημητράκης, Ανάλυση. (Πραγματικές συναρτήσεις και μετρικοί χώροι). Αποθετήριο Συγγραμμάτων «Κάλλιπος», 2015.
- Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Ε. Γιαννακούλιας, Απειροστικός Λογισμός. Tόμος ΙΙα, ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ, 1999.
- Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Ε. Γιαννακούλιας, Απειροστικός Λογισμός. Tόμος ΙΙβ, ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ, 1999.
- Michael Spivak, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός, ΠΕΚ, 2010.
