Θεωρία Δακτυλίων & Modules (MΕΜ-226)

Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης

Χειμερινό Εξάμηνο 2024
Διαλέξεις : Δευτέρα 13:00'-15:00' και Τετάρτη 13:00'-15:00', Αίθουσα Α 212

Ώρες γραφείου (γραφείο Γ 313):….

· Σκοπός του μαθήματος
Η προετοιμασία για πιο προχωρημένα και συναρπαστικά μαθήματα, όπως η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών και η Αλγεβρική Γεωμετρία. Η έμφαση θα δοθεί, κυρίως, στη Θεωρία Δακτυλίων. Η βασική ύλη περιγράφεται, σε πολύ αδρές γραμμές, στην ύλη των μαθημάτων της υποομάδας 2.2.

• Απαιτήσεις: Το μάθημα έχει αυξημένες απαιτήσεις:

• Ουσιαστικό ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά και, ειδικότερα, για τα αλγεβρικά μαθήματα.

• Καλή γνώση της ύλης Δακτυλίων, Σωμάτων, Πολυωνύμων. Ενδεικτικά, για την ελάχιστη απαιτούμενη ύλη (κατά προσέγγιση) μπορείτε να ανατρέξετε, για παράδειγμα, σε ένα από τα παρακάτω συγγράμματα:
  α) Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, Ο. Ταλέλλη, “Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα” (εκδόσεις Σοφία), ενότητες 2.1-2.4. Σ' αυτή την ιστοσελίδα θα αναφέρεται ως “βιβλίο (α)”.
  β) J.B. Fraleigh “Εισαγωγή στην Άλγεβρα” (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης), ενότητες 4.1, 4.2, 4.5, 4.6. Σ' αυτή την ιστοσελίδα θα αναφέρεται ως “βιβλίο (β)”.
  γ) Δ. Νταής, "Εισαγωγή στη Θεωρία Δακτυλίων".
  Σ' αυτή την ιστοσελίδα θα αναφέρεται ως “βιβλίο (γ)”.
  δ) Δ. Μ. Πουλάκης, “Άλγεβρα” (εκδόσεις Ζήτη), ενότητα 4.1. Σ' αυτή την ιστοσελίδα θα αναφέρεται ως “βιβλίο (δ)”.

• Μελέτη κάθε εβδομάδα, διαφορετικά το μάθημα θα σας “αφήσει πολύ πίσω” και θα το χάσετε!

• Αφιέρωση ικανού χρόνου στην επίλυση ασκήσεων, κάθε εβδομάδα.

• Πολύ ισχυρή σύσταση: Μη δηλώσετε το μάθημα μόνο και μόνο για να συμπληρώσετε μονάδες (“κλείσιμο υποομάδας”).

• Βοηθήματα
  · Μέρος από αυτά που θα διδαχθούν, περιέχονται στα παραπάνω βιβλία (α), (β) και (γ).
  · Οι σημειώσεις μου. Περιέχουν σημαντικό μέρος της ύλης που θα διδαχθεί, αλλά όχι όλη την ύλη. Οι σημειώσεις θα ενημερώνονται κατά την πορεία του μαθήματος.

• Εξεταστικό σύστημα
  Πρώτη εξεταστική περίοδος: Μία προαιρετική πρόοδος και μία τελική εξέταση κατά την εξεταστική περίοδο του Ιανουαρίου.
  Τελικός βαθμός = max{Τ, 0.2*Π + 0.8*Τ}, όπου Π ο βαθμός της προόδου και Τ ο βαθμός της τελικής εξέτασης.
  Στις επόμενες εξεταστικές περιόδους δεν θα ληφθεί υπόψη ο βαθμός της προόδου.

• Ημερολόγιο του μαθήματος
  Σε κάθε μία από τις επόμενες εβδομάδες θα αναρτάται η ύλη που διδάχθηκε εκείνη την εβδομάδα.
  Πρόκειται για σύντομη περιγραφή της ύλης και όχι για διδακτικές σημειώσεις και δεν υποκαθιστά την παρακολούθηση. Είναι χρήσιμη, αλλά κυρίως για όσους παρακολουθούν τις διαλέξεις.
  Θα αναρτώνται, επίσης, ασκήσεις, μερικές από τις οποίες θα λύνονται στο μάθημα των ασκήσεων. Οι υπόλοιπες είναι για δική σας μελέτη.

· 1^η Εβδομάδα: 23-27 Σεπτεμβρίου. Επαναλήψεις στην ύλη των δακτυλίων, ακεραίων περιοχών και σωμάτων. Δείτε ενότητα 2.1 του βιβλίου (α) μέχρι την υπο-ενότητα 2.1.12 (δίχως αυτή) δίχως ιδιαίτερη έμφαση στα παραδείγματα της υπο-ενότητας 2.1.2. Δώστε προσοχή στις παραγράφους «συνέπειες του ορισμού», σελ. 78-79 και « “Πολλαπλασιασμός” στοιχείων δακτυλίου με ακεραίους», σελ. 86-87.
Με λεπτομέρεια παρουσιάζονται μόνο κάποια “λεπτά” θέματα. Με ιδιαίτερη σχολαστικότητα παρουσιάστηκε η γενίκευση της έννοιας “υποδακτύλιος” και “υπόσωμα”:
Ο δακτύλιος S είναι υποδακτύλιος του δακτυλίου R αν υπάρχει μονομορφισμός δακτυλίων f: S→R.
Ανάλογα, το σώμα K είναι υπόσωμα του σώματος F αν υπάρχει μονομορφισμός σωμάτων f: K→F.

Κατασκευή του σώματος πηλίκων μιας ακέραιας περιοχής. Βλ. ενότητα 2.7 του βιβλίου (α) μέχρι
την Πρόταση 2.7.1, ή ενότητα 4.4 του βιβλίου (β) (αναλυτική παρουσίαση).
Σε δακτύλιο R με μοναδιαίο στοιχείο, διάκριση μεταξύ μοναδιαίου στοιχείου και μονάδων του R.
Το υποσύνολο των μονάδων του R συμβολίζεται R^* και, εφοδιασμένο με τον πολλαπλασιασμό του R, είναι ομάδα.
Συνιστώμενες ασκήσεις για να ελέγξετε αν έχετε τις βασικές γνώσεις από το μάθημα της Άλγεβρας Ι.
Από το βιβλίο (β), «ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.1», ασκήσεις 5-17, 35, 36, 28.
Από το βιβλίο (γ) οι εξής: 1-11 (σελ.34), 1-18, 1-19 (σελ.37), 1-25 (σελ.38),
1-27 (σελ. 39. Mat_2x2(Z) σημαίνει πίνακες 2x2 με ακέραια στοιχεία)

· 2^η Εβδομάδα: 30 Σεπτεμβρίου - 4 Οκτωβρίου. Επανάληψη στα πολυώνυμα πάνω από δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο. Έμφαση στις περιπτώσεις των πολυωνύμων πάνω από ακέραια περιοχή ή σώμα.
Η ύλη αντιστοιχεί στην ενότητα 2.2 του βιβλίου (α), πλην του Θεωρήματος 2.2.8 και του Πορίσματος 2.2.9.
Διαιρετότητα στις ακέραιες περιοχές Ζ και K[X], με το Κ σώμα.
Πίνακας που δείχνει τις μεταξύ τους αναλογίες.
Από την ενότητα 1.1 του Κεφαλαίου 1 των σημειώσεών μου, τα εισαγωγικά, Πρόταση 1.1 και Παραδείγματα (α), (β), (ε).
Ισχυρή σύσταση! Ύστερα από τη μελέτη της παραπάνω, πρέπει να μπορείτε να λύσετε (αυτές τις μέρες, όχι αργότερα!) τις ασκήσεις 1*1 – 1*9 της ενότητας 1.1.

· 3^η Εβδομάδα: 7 - 11 Οκτωβρίου. Από την ενότητα 1.1 των σημειώσεων, τα Παραδείγματα (γ) κι (δ).
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης, ενότητα 1.2 των σημειώσεων. Από την άσκηση 1.12 επιλύθηκαν τα ερωτήματα (α) και (γ). Να λύσετε τα ερωτήματα (β) και (ε).
Διαιρετότητα σε Περιοχές Κυρίων Ιδεωδών (ΠΚΙ). Θεώρημα 1.4. Να λύσετε την άσκηση 1*13.

· 4^η Εβδομάδα: 14 - 18 Οκτωβρίου. Διαιρετότητα σε περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης. Ενότητα 1.4 των σημειώσεων, μέχρι και το Θεώρημα 1.11.
Συνιστώμενες ασκήσεις: όλες αυτής της ενότητας, πριν το Θεώρημα 1.11.

· 5^η Εβδομάδα: 21 - 25 Οκτωβρίου. Πολυώνυμα σε περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης. Ενότητα 1.5 των σημειώσεων, μέχρι και το Παράδειγμα 1.4.
Συνιστώμενες ασκήσεις: 1*25 και 1*26.
Εξέταση Προόδου: Σάββατο 2 Νοεμβρίου, ώρα 11, αίθουσα Ε204

· 6^η Εβδομάδα: 28 Οκτωβρίου – 1 Νοεμβρίου. Αποδείχθηκε λεπτομερώς το Θεώρημα 1.16 των σημειώσεων, και λύθηκε υποδειγματικά άσκηση παρόμοια με την άσκηση 1-26.
Συζητήθηκε λεπτομερώς το Παράδειγμα 1.5.
Συνιστώμενες ασκήσεις: 1*27.
Τα θέματα της εξέτασης προόδου (2 Νοεμβρίου)

· 7^η Εβδομάδα: 4 – 8 Νοεμβρίου. Ευκλείδειες Περιοχές (ενότητα 1.6 των σημειώσεων).
· 8^η Εβδομάδα: 11 – 15 Νοεμβρίου. Ύπαρξη ριζών πολυωνύμων (ενότητα 2.1 των σημειώσεων). Απαλείφουσα δύο πολυωνύμων (από την ενότητα 2.2 των σημειώσεων μέχρι και το Θεώρημα 2.3).
Συνιστώμενες ασκήσεις: 2*1, 2*2, 2*3

9^η Εβδομάδα: 18 – 22 Νοεμβρίου. Απαλείφουσα (συνέχεια): Από τις σημειώσεις, Λήμμα 2.4 μέχρι και το Θεώρημα 2.6 και το Παράδειγμα 2.1.
«Μικρή Εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία»: Ενότητα 2.3 των σημειώσεων μέχρι και το Πόρισμα 2.10.
Συνιστώμενες ασκήσεις: 2*4, 2*10. Πρέπει να λύσετε οπωσδήποτε τις ασκήσεις 2*5-2*9, οι οποίες είναι μεν απλές, αλλά απαραίτητες για την εξοικείωσή σας με τις νέες έννοιες.

10^η Εβδομάδα: 25 – 29 Νοεμβρίου. Συνέχεια στη «Μικρή Εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία» των σημειώσεων. Ορισμός του δακτυλίου Noether (αμέσως μετά το Πόρισμα 2.10), ανάγωγα αλγεβρικά σύνολα μέχρι και τον προσδιορισμό όλων των ανάγωγων αλγεβρικών συνόλων του K², όπου K είναι άπειρο σώμα (Θεώρημα 2.17).
Συνιστώμενες ασκήσεις: 2*15, 2*16, 2*17, 2*18.

11^η Εβδομάδα: 2 – 6 Δεκεμβρίου. Συνέχεια στη «Μικρή Εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία» των σημειώσεων. Συζητήθηκε εκτενώς το Παράδειγμα 2º2. Πρόταση 2.18. Ανάλυση αλγεβρικού συνόλου σε ανάγωγες συνιστώσες. Αλγεβρικώς κλειστά σώματα. Θεώρημα 2.19. Λύθηκε η άσκηση 2*23.
Συνιστώμενες ασκήσεις: Αν δεν έχετε λύσει τις 2*16, 2*17 να τις λύσετε οπωσδήποτε! Ακόμη κι αν τις έχετε ήδη λύσει, ελέγξτε αν η απόδειξή σας ότι τα θεωρούμενα σε αυτές πολυώνυμα είναι ανάγωγα, είναι ανάλογη με την απόδειξη του Παραδείγματος 2º2. Λύστε, επίσης, όσο το δυνατόν περισσότερες από τις ασκήσεις 2*19 – 2*25.

12^η Εβδομάδα: 9 – 13 Δεκεμβρίου. Ριζικά ιδεώδη. Το «ασθενές Nullstellensatz» και το Nullstellensatz του Hilbert και πορίσματά τους. Στις σημειώσεις, από την Πρόταση-Ορισμό 2.20 μέχρι και το Πὀρισμα 2.28. Λύθηκε η άσκηση 2*27.
Συνιστώμενες ασκήσεις: 2*26, 2*28, 2*29-2*33.

13^η Εβδομάδα: 16 – 20 Δεκεμβρίου. Λύθηκαν και συζητήθηκαν σχολαστικά οι ασκήσεις 2*30, 2*31 και 2*33.

Τελευταία ενημέρωση: 12-2-2025